antesedentes histiricos de los numer reales

Se sabe que los babilónicos y los egipcios hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemas prácticos. Sin embargo, no fue sino hasta el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, lo que expresaron con la máxima «todo es número». En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera de modo que las primeras dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes tienen una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.
Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se vino abajo cuando el mismo teorema de Pitágoras fue demostrado de forma rigurosa y general, dado que la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no es conmensurable con los catetos. En notación moderna, un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide :
Si es un número racional donde p/q está reducido a sus términos mínimos (sin factor común) entonces 2q²=p².
La expresión anterior indica que p² es un número par y por tanto p también, es decir, p=2m. Sustituyendo obtenemos 2q²=(2m)²=4m², y por tanto q²=2p².
Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto es, q=2n. Mas esto es imposible, puesto que p y q no tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).
Por tanto, la suposición misma de que es un número racional debe ser falsa.